计算机解决了困惑90年的数学难题:凯勒猜想

奥特·海因里希·凯勒(Ott-Heinrich Keller)于90年前提出了所谓的凯勒猜想,这是用相同的瓷砖覆盖空间的问题。它断言,如果用单位正方形瓷砖覆盖二维空间,则至少存在两块瓷砖共享一条边(就是说,有两个正方形是对齐邻接的)。凯勒进一步对每个维度的空间都做出了相同的论断:在n维空间里,用单位n维立方体填充空间,则存在两个邻接的单位体共享一个n-1维面。

截至今年立秋,仅剩余7维空间的情况尚未得到解决。

但是现在,数学家借助计算机为这一猜想画上了句号。原始证明于去年10月在线发布,经过近一年的检查,终于被认可。

作者(斯坦福大学的Joshua Brakensiek,卡内基梅隆大学的Marijn Heule和John Mackey以及罗切斯特理工学院的DavidNarváez)启用了40台计算机。仅仅30分钟后,机器就返回了一个单词作为答案:是的。这个猜想在7维空间里是正确的。

答案附有很长的逻辑演算过程(200G的文档),解释了为什么是正确的。具体内容过于庞杂,已经无法为人类所理解,但可以通过单独的计算机程序验证其正确性。

换句话说,即使我们不知道计算机如何解决凯勒的猜想,我们也可以向自己保证它们的正确性。

实际上,凯勒最原始的猜想,并不完全正确。

早期的结果支持了凯勒的预言。1940年,奥斯卡·佩隆(Oskar Perron)证明,对于维度是1到6的空间,猜想是正确的。但是50多年后,新一代数学家找到了第一个反例:Jeffrey Lagarias和Peter Shor在1992年证明了该猜想在10维上是错误的。

不知道大家能不能自行证明一个结论:如果凯勒猜想在n维空间里是错的,则在n+1维空间里也不会正确!

这样一来,我们知道,在维度大于等于10的空间里,凯勒猜想都不成立。

所以问题就集中在7,8,9这三个维度上。

2002年,有人证明了凯勒的猜想在第8维(因此在第9维)也是错误的。

剩下的只有维度7,它是猜想成立的最高维度,或是失败的最低维度。

现在,我们知道,凯勒猜想在7维空间里是成立的。

原文:https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/

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